Olivia Caramello and Mathematics as a Bridge

Professor Olivia Caramello, an Italian leading mathematician who teaches in Como and in Paris, introduces herself through a conversation with Primavera Fisogni, the editor-in-chief of Rekh Magazine. The interview is included in FEMMINILE, PLURALE, the book dedicated to a group of excellent women, just published: the ebook, attached below, can be freely downloaded

La professoressa Olivia Caramello

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Di Primavera Fisogni

Il Paese che occupa uno dei livelli più bassi nella competenza della matematica, specialmente tra le studentesse¹, l’Italia, può andare fiero di annoverare, tra le sue eccellenze, un genio della matematica. Che significa genio? Per Giambattista Vico non è altro che qualcuno, in questo caso, una giovane donna, per il quale / la quale la facultas diventa facilitas². I numeri si danno a vedere, più che mai, ad Olivia Caramello³, come architetture della vita. Non meraviglia che questa straordinaria capacità di visione le abbia portato, accanto a grandi soddisfazioni internazionali, anche un bel po’ di ostacoli. A Cambridge, ad esempio, remavano contro il suo pensiero originale. E arrivare in cattedra, pur avendo Caramello bruciato le tappe, in Francia e poi in Italia, non è stata come si dice, una passeggiata. Ora, però, Olivia Caramello è riconosciuta autorità in un approccio alla matematica di impronta sistemica, che getta ponti tra i saperi e, sempre di più, risulta attrattivo a livello interdisciplinare.

Professoressa Caramello, che bambina è stata? Glielo chiedo perché ancora persiste una cultura pregiudiziale nei confronti dell’interesse delle bambine e delle donne per la matematica…

Sono stata una bambina molto curiosa e creativa, ed estremamente sensibile a violenze e ingiustizie. Dopo un solo giorno all’asilo mi rifiutai di tornarci, turbata dalla brutalità con cui alcuni bambini più forti si imponevano sui più fragili. Prima che, a 13 anni, nascesse la mia passione per la matematica, dedicavo molto tempo alla musica - suonavo pianoforte e violino - alla scrittura, all’arte (disegno, creazione di gioielli e altre piccole manifatture) e all’esplorazione della natura, osservando animali e piante nel giardino di casa.

Amavo discutere con gli adulti e approfondire temi etici e filosofici, leggendo libri di psicologia, filosofia e sociologia presi dalla biblioteca di mio padre. Mi piacevano anche i giochi al computer, soprattutto quelli di logica e strategia.

Giocavo volentieri all’aria aperta con i miei coetanei, anche se a volte mi capitava di preferire tornare a casa a scrivere o a leggere qualcosa che mi intrigava.

Quale percorso di studio ha seguito? Quando ha capito di avere un così speciale talento per la matematica?

Ho frequentato le scuole medie a indirizzo musicale a Mondovì Piazza, un’esperienza molto positiva durante la quale ho avuto l’opportunità di partecipare a diversi concorsi di musica, che in più occasioni ho anche vinto.

La passione per la matematica è nata invece nel primo anno di liceo, quando sono entrata in contatto con il concetto di dimostrazione. In quel momento ho capito che la matematica poteva rappresentare per me uno spazio di libertà e creatività, un luogo in cui esprimermi pienamente attraverso lo sviluppo di approcci personali ai problemi, condividendo il mio lavoro e costruendo su quello degli altri grazie al rigore logico.

Durante gli anni del liceo ho dedicato molto tempo allo studio personale di problemi matematici avanzati, arrivando a scoprire autonomamente alcuni teoremi. Alcuni di questi risultati si rivelarono in seguito già noti, altri no, ma ciò che contava davvero era la consapevolezza che quella attività mi apparteneva profondamente: attraverso quelle scoperte avevo capito di “essere” una matematica.

Frequentavo il liceo scientifico con specializzazione P.N.I. (Piano Nazionale Informatico) e, al termine del terzo anno, decisi di completare gli ultimi due anni in uno solo, così da potermi iscrivere all’università il prima possibile.

Precisamente, quali discipline insegna all’Insubria di Como e all’Università di Parigi-Saclay?

All’Insubria tengo il corso di “Geometria 1” per il secondo anno della Laurea Triennale, un insegnamento che introduce alla topologia generale e alla topologia algebrica. Alla Laurea Magistrale insegno invece teoria delle categorie e dei topoi.

All’Università di Parigi-Saclay tengo corsi avanzati di ricerca, frequentati non solo da studenti di laurea o di master, ma anche da docenti e ricercatori provenienti da diverse discipline, interessati agli sviluppi più recenti della teoria dei topoi e alle sue applicazioni.

Se non sbaglio, lei è stata la prima donna a ottenere una cattedra (la Gelfand Chair) all’IHES dell’Università di Parigi-Saclay. Com’è stata la selezione? Come ha vissuto questo momento storico?

Non si tratta di una posizione per cui ci si candida: la Gelfand Chair viene attribuita direttamente dall’IHES a studiosi considerati di comprovata eccellenza scientifica, per permettere loro di trascorrere tre anni come visiting professor presso l’Istituto. Essere scelta da un’istituzione che conta nel suo staff tre Medaglie Fields è stato per me un grande onore, oltre che un’opportunità preziosa per lavorare a stretto contatto con matematici di altissimo livello.

L’aspetto più significativo di quell’esperienza è che tre dei matematici che avevano contribuito alla mia selezione fanno oggi parte del Consiglio Scientifico dell’Istituto Grothendieck: è questa, per me, l’eredità più importante di quella nomina.

In cattedra, in Francia e in Italia, è arrivata molto presto: una rarità, specie nel nostro Paese. Questo successo ha mai suscitato gelosie? Più in generale, tra l’ambiente accademico italiano e quello francese, quale ha sperimentato come più premiante, inclusivo, stimolante?

Purtroppo sì, nel mio percorso ho incontrato forme di gelosia e di ostilità, soprattutto da parte di persone in posizioni di potere che hanno percepito il mio ruolo o il mio lavoro come una minaccia. In alcuni casi questo si è tradotto in tentativi concreti di ostacolare la mia attività scientifica. Sono dinamiche che ho riscontrato sia in Italia sia in Francia, anche se, per la mia esperienza personale, in Italia hanno avuto un impatto più marcato.

I suoi studi l’hanno portata anche a Oxford e Cambridge. Con quali maestri e mentori si è formata: tra loro, ci sono anche donne?

No, all’epoca dei miei studi a Cambridge non c’era neppure una professoressa donna nel dipartimento. I docenti con cui mi sono trovata a interagire erano quindi tutti uomini, ma non posso definirli “maestri” o “mentori”. Alcuni di loro non hanno accolto positivamente il mio lavoro: la mia teoria dei “ponti” metteva in discussione una tradizione di ricerca radicata da oltre quarant’anni, alla quale erano profondamente legati. Invece di confrontarsi apertamente con le mie idee, hanno preferito esprimere giudizi svalutativi dietro le mie spalle, creando un clima che ha ostacolato in modo significativo il mio percorso professionale. È stata un’esperienza molto dura, che mi ha fatto comprendere quanto sia essenziale un ambiente accademico fondato sul rispetto e sulla capacità di ascoltare prospettive nuove.

Il suo ambito di ricerca riguarda, in particolare, i topoi, termine che designa realtà in cui si verifica un'unione di Matematica e Logica. Sul suo sito possiamo immergerci in questa suggestiva visione sistemica. Perché sono tanto significativi i topoi? Quali applicazioni offrono nel contesto della vita quotidiana?

I topoi sono significativi perché rappresentano uno dei tentativi più profondi e riusciti di unificare matematica e logica all’interno di un’unica architettura concettuale. Un topos non è soltanto un oggetto matematico: è un ambiente di pensiero, un “mondo” in cui è possibile formulare teorie, confrontare modelli, tradurre problemi da un linguaggio all’altro. La loro forza sta proprio in questa capacità di fungere da spazi di significato nei quali strutture diverse possono essere confrontate, integrate o reinterpretate. È un po’ come avere una grammatica universale che permette di mettere in relazione sistemi apparentemente incompatibili.

Dal punto di vista applicativo, questa prospettiva ha implicazioni molto concrete. I topoi offrono strumenti per:

• modellizzare sistemi complessi, come reti biologiche, ecosistemi, sistemi cognitivi o sociali, dove coesistono molteplici livelli di organizzazione;

• integrare dati eterogenei, provenienti da fonti diverse, mantenendo coerenza logica e strutturale;

• analizzare fenomeni dinamici in cui il contesto cambia continuamente, come nei sistemi informatici distribuiti o nelle reti neurali;

• costruire interfacce concettuali tra discipline, facilitando la comunicazione tra modelli scientifici diversi.

Nella vita quotidiana, tutto questo si traduce in una maggiore capacità di comprendere e gestire la complessità. Viviamo in un mondo in cui i dati sono frammentati, i sistemi sono interconnessi e le prospettive si moltiplicano. I topoi offrono un modo per dare ordine a questa pluralità, per costruire mappe concettuali che ci aiutino a orientare decisioni, tecnologie e politiche. Non è un caso che molte applicazioni emergenti - dall’intelligenza artificiale alla biologia dei sistemi - stiano iniziando a riconoscere il valore di strumenti matematici capaci di unificare, più che di separare.

Da marzo 2022 lei è presidente del Grothendieck Institute, un polo interdisciplinare di ricerca per le scienze matematiche. Al centro dei molteplici progetti c’è un’idea che le chiedo di chiarirci anche se ne ha parlato nella sua ultima risposta, vale a dire, quella di costruire un ponte tra le scienze.

L’idea di “ponte” tra le scienze nasce dalla constatazione che molte strutture concettuali profonde sono condivise da discipline che, in superficie, sembrano lontane. La teoria dei ponti è nata proprio da questa intuizione: l’ho introdotta inizialmente in ambito strettamente matematico, per collegare tra loro teorie e branche diverse della disciplina attraverso la teoria dei topoi. In seguito ho esteso questo quadro alle scienze in generale, mostrando come gli stessi meccanismi di traduzione e confronto possano mettere in relazione modelli, fenomeni e metodi provenienti da campi molto diversi.

All’Istituto Grothendieck lavoriamo esattamente in questa direzione: individuare le architetture concettuali comuni e usarle per far dialogare matematica, fisica, informatica, biologia, scienze cognitive e perfino discipline umanistiche. Un ponte non è una metafora estetica: è un dispositivo epistemico. Permette di trasferire idee, di tradurre problemi, di far emergere analogie strutturali che altrimenti resterebbero invisibili. È un modo per ampliare la nostra capacità di comprendere il mondo.

A proposito di dialogo tra i saperi. Il diploma in pianoforte, che lei ha conseguito da ragazzina, a Cuneo, come entra nella sua storia? Come dialogano musica e numeri?

La musica è stata la mia prima forma di pensiero astratto. Studiare pianoforte da bambina mi ha insegnato la disciplina, la sensibilità alle strutture e la capacità di riconoscere pattern complessi. In fondo, la musica è una matematica incarnata: è ritmo, proporzione, simmetria, variazione. Quando più tardi mi sono dedicata alla matematica, ho riconosciuto la stessa logica interna, la stessa tensione tra rigore e creatività. Per me musica e matematica dialogano continuamente: entrambe richiedono un ascolto profondo, un senso della forma e una capacità di immaginare strutture che non sono immediatamente visibili.

Arte e matematica non sono mondi distanti, nella prospettiva delle sue ricerche. Perché?

Arte e matematica condividono un nucleo comune: sono entrambe esplorazioni di strutture. L’arte lo fa attraverso forme sensibili, la matematica attraverso forme concettuali. Ma il gesto è simile: si tratta di dare ordine, di creare significato, di rendere visibile qualcosa che prima non lo era. Nelle mie ricerche questo legame emerge naturalmente. La teoria dei topoi, ad esempio, è un linguaggio che permette di descrivere mondi possibili, prospettive, punti di vista. È un’operazione molto vicina a quella artistica, che costruisce nuovi modi di percepire la realtà. L’arte, come la matematica, è un laboratorio di possibilità.

La filosofia e le scienze cognitive fanno parte dei suoi interessi curricolari. In realtà, a me sembra che la centratura delle sue ricerche sia filosofica, sia per il carattere sistemico della Topos Theory, sia per la ricerca dei fondamenti metafisici della matematica…

La filosofia è sempre stata presente nel mio modo di fare matematica. La teoria dei topoi ha una natura intrinsecamente sistemica: non si limita a risolvere problemi locali, ma cerca le strutture generali che organizzano interi domini di conoscenza. Questo tipo di ricerca ha inevitabilmente una dimensione filosofica, perché interroga i fondamenti, i criteri di verità, le forme della rappresentazione. Le scienze cognitive, d’altra parte, mi interessano perché studiano i meccanismi attraverso cui costruiamo significato. Capire come la mente organizza concetti, categorie e relazioni è profondamente legato al mio lavoro sui linguaggi matematici unificanti. In un certo senso, la mia ricerca è filosofica non perché si allontani dalla matematica, ma perché ne esplora la dimensione più generale e più profonda: quella che riguarda la struttura stessa della conoscenza.

So che lei è molto amata dai suoi studenti, per la capacità di ascolto e la sapiente attitudine alla motivazione. Ma come si fa a far appassionare alla matematica fin da piccoli?

Occorre, a mio avviso, enfatizzare fin da subito la dimensione ludica e costruttiva della matematica: il fatto che esistano molti modi diversi per risolvere un problema, e che ciascuno possa portare un contributo personale all’interno di questa grande avventura collettiva, indipendentemente dall’età o dal ruolo. I docenti dovrebbero prendersi il rischio di presentare la materia in modo aperto, non rigidamente nozionistico come purtroppo spesso accade, accettando anche la possibilità di essere “destabilizzati” dalle soluzioni brillanti che gli studenti possono ideare e che magari loro stessi non avevano immaginato.

Inoltre, il fatto di praticare fin da piccoli giochi di logica o di strategia avvicina molto alla matematica, se si riesce a cogliere in quell’esperienza qualcosa di più generale, universale, metodologico. La matematica può diventare un terreno di esplorazione e di creatività, e quando i bambini percepiscono questa libertà, l’interesse nasce spontaneamente.

Riguardo all’intelligenza artificiale, costruita su una base computazionale sempre più sofisticata, qual è il suo punto di vista: conterà sempre più la componente “agentica” oppure quella “cognitiva”? Lei come utilizza i LLMs o i chatbot in generale?

Per arrivare a un’autentica intelligenza artificiale generale sono necessari fondamenti matematici nuovi, molto più ricchi e strutturati rispetto a quelli su cui si basano gli attuali LLM. Questi modelli, pur straordinariamente potenti dal punto di vista computazionale, non sono progettati per emulare alcune caratteristiche distintive dell’intelligenza umana: la capacità di interpretare il mondo in modo qualitativo e non solo quantitativo, l’identificazione di invarianti, il ragionare a diversi livelli di astrazione, l’abilità di combinare linguaggi e punti di vista differenti su uno stesso tema.

In questo senso, ritengo che la componente davvero decisiva per il futuro dell’IA sarà quella cognitiva, più che quella meramente “agentica”. La capacità di agire in modo autonomo ha valore solo se è sostenuta da una struttura concettuale profonda, capace di costruire significato e non soltanto di reagire a stimoli o dati. Senza questa dimensione, l’“agency” rimane un automatismo sofisticato, ma privo di comprensione.

Come ho illustrato in diversi seminari e corsi, la teoria dei topoi fornisce gli strumenti concettuali adeguati per affrontare queste sfide: permette di modellizzare contesti, punti di vista e strutture cognitive in modo unificato e flessibile. Per questo motivo ritengo che sarà fondamentale nello sviluppo di forme di intelligenza artificiale più vicine ai processi cognitivi umani. Presso il Centro per la Teoria dei Topoi e le Sue Applicazioni dell’Istituto Grothendieck stiamo lavorando proprio in questa direzione.

Per quanto riguarda il mio utilizzo personale dei LLM o dei chatbot, non li impiego per fare ricerca matematica in senso stretto: la natura del mio lavoro richiede strumenti concettuali molto più profondi rispetto a quelli che gli attuali modelli linguistici possono offrire. Li uso invece per attività collaterali legate al mio lavoro, come la ricerca preliminare di referenze, la revisione o l’editing di testi, o per velocizzare alcune operazioni pratiche. In questo senso possono essere strumenti utili, purché se ne conoscano bene i limiti.

1 Si vedano i recenti dati Invalsi e Pisa. Intervista con l’astrofisica Ersilia Vaudo: Fisogni, P. (2024). Diamo i numeri per crescere. “La matematica è il futuro”, https://www.laprovinciadicomo.it/stories/premium/Rubriche/diamo-i-numeri-per-crescere-la-matematica-e-futuro-o_2647203_11/

2 Vico, G. (2020) De Antiquissima Italicorum Sapientia, Edizioni di Storia e Letteratura.

3 Olivia Caramello è una matematica che ricopre il ruolo di professoressa associata presso l'Università degli Studi dell'Insubria a Como ed è inoltre affiliata all'Université Paris-Saclay. Dal marzo 2022 è presidente dell'Istituto Grothendieck, una fondazione italiana dedita alla ricerca interdisciplinare nelle scienze matematiche. Sin dall'inizio dei suoi studi di dottorato, la sua ricerca si è concentrata sull'indagine del ruolo dei topoi di Grothendieck come spazi unificatori nella matematica e nella logica, e il suo principale contributo è stato lo sviluppo della teoria unificatrice dei "ponti" topos-teoretici, consistente in metodi e tecniche per trasferire informazioni tra distinte teorie matematiche attraverso l'uso dei topoi. Queste metodologie hanno carattere interdisciplinare e, sebbene trovino la loro espressione teorica più naturale nella matematica, possono essere applicate anche al di fuori di essa, in discipline quali la fisica, l'informatica, la linguistica e la filosofia. Il Centro per la Teoria dei Topoi e le sue Applicazioni dell'Istituto Grothendieck è dedito in modo particolare allo sviluppo della teoria dei topoi come "ponti" e delle sue applicazioni (oliviacaramello.com)

English text:

Italy, a country that ranks among the lowest in terms of mathematical competence, especially among female students, has reason to be proud in counting a mathematical genius among its luminaries. But what does genius mean? For Giambattista Vico, it is simply someone, in this case a young woman, for whom 'facultas' becomes 'facilitas'. For Olivia Caramello, numbers appear more than ever as the architecture of life. It is no surprise that this extraordinary vision has brought her great international satisfaction as well as quite a few obstacles. At Cambridge, for example, her original thinking was opposed. Becoming a professor was not, as they say, a walk in the park, even though Caramello had risen quickly through the ranks in France and then Italy. However, Olivia Caramello is now recognised as an authority on a systemic approach to mathematics, which builds bridges between different fields of knowledge and is becoming increasingly popular in an interdisciplinary context.

Professor Caramello, what child were you? There is still a culture of prejudice against girls' and women's interest in mathematics...

I was a very curious and creative child, and extremely sensitive to violence and injustice. After just one day at nursery school, I refused to go back, upset by the brutality with which some of the stronger children imposed themselves on the weaker ones. Before my passion for mathematics was born at the age of 13, I devoted a lot of time to music – I played the piano and violin, wrote, practised art (drawing, jewellery-making, and other small crafts), and explored nature, observing animals and plants in my garden. I loved discussing ethical and philosophical issues with adults, reading books on psychology, philosophy and sociology from my father's library. I also enjoyed computer games, especially logic and strategy games. I enjoyed playing outdoors with my peers, although sometimes I preferred to go home to write or read something that intrigued me.

What kind of education did you pursue? When did you realise you had such a special talent for mathematics?

I attended a music-focused secondary school in Mondovì Piazza, which was a very positive experience during which I participated in various music competitions and won on several occasions. My passion for mathematics began in my first year of secondary school, when I was introduced to the concept of proof. At that moment, I realised that mathematics could be a space of freedom and creativity for me, a place where I could fully express myself through the development of personal approaches to problems, sharing my work and building on that of others, thanks to logical rigour. During my high school years, I devoted a lot of time to the personal study of advanced mathematical problems, eventually discovering some theorems on my own. Some of these results later turned out to be already known, others not, but what really mattered was the awareness that this activity belonged deeply to me: through those discoveries, I realised that I “was” a mathematician. I attended a scientific high school specialising in P.N.I. (National IT Plan) and, at the end of my third year, I decided to complete the last two years in one, so that I could enrol at university as soon as possible.

Specifically, what subjects do you teach at Insubria University in Como and Paris-Saclay University?

At Insubria, I teach the course ‘Geometry 1’ for the second year of the Bachelor's degree, a course that introduces general topology and algebraic topology. At the Master's degree level, I teach category theory and topos. At the University of Paris-Saclay, I teach advanced research courses, attended not only by undergraduate and master's students, but also by lecturers and researchers from various disciplines who are interested in the latest developments in topos theory and its applications.

If I remember correctly, you were the first woman to obtain a chair (the Gelfand Chair) at IHES at the University of Paris-Saclay. How was the selection process? How did you experience this historic moment?

It is not a position for which one applies: the Gelfand Chair is awarded directly by IHES to scholars considered to be of proven scientific excellence, allowing them to spend three years as visiting professors at the Institute. Being chosen by an institution that counts three Fields Medalists among its staff was a great honour for me, as well as a valuable opportunity to work closely with mathematicians of the highest calibre. The most significant aspect of that experience is that three of the mathematicians who contributed to my selection are now members of the Scientific Council of the Grothendieck Institute: for me, this is the most important legacy of that appointment.

You became a professor at a very young age, both in France and Italy. Let me say that this is an extraordinary event, especially in Italy. Did this success ever arouse jealousy? More generally, between the Italian and French academic environments, which did you find more rewarding, inclusive and stimulating?

Unfortunately, yes, I have encountered jealousy and hostility along the way, especially from people in positions of power who perceived my role or my work as a threat. In some cases, this translated into concrete attempts to hinder my scientific activity. These are dynamics that I have encountered in both Italy and France, although, in my personal experience, they have had a more marked impact in Italy.

Your studies also took you to Oxford and Cambridge. Which teachers and mentors did you learn from? Were there any women among them?

No, at the time of my studies at Cambridge, there was not a single female professor in the department. The teachers I interacted with were, therefore, all men, but I cannot call them “teachers” or “mentors”. Some of them did not welcome my work: my “bridges” theory challenged a tradition of research that had been established for over forty years, to which they were deeply attached. Instead of openly discussing my ideas, they preferred to make disparaging remarks behind my back, creating an atmosphere that significantly hindered my professional career. It was a very difficult experience, which made me realise how essential it is to have an academic environment based on respect and the ability to listen to new perspectives.

Your field of research focuses, in particular, on topoi, a term that refers to realities in which mathematics and logic come together. On your website, we can immerse ourselves in this evocative systemic vision. Why are topoi so significant? What applications do they offer in the context of everyday life?

Topoi are significant because they represent one of the most profound and successful attempts to unify mathematics and logic within a single conceptual architecture. A topos is not just a mathematical object: it is an environment for thought, a “world” in which it is possible to formulate theories, compare models and translate problems from one language to another. Their strength lies precisely in this ability to act as spaces of meaning in which different structures can be compared, integrated or reinterpreted. It is a bit like having a universal grammar that allows seemingly incompatible systems to be related.

From an application point of view, this perspective has very concrete implications. Topoi offer tools for: modelling complex systems, such as biological networks, ecosystems, cognitive or social systems, where multiple levels of organisation coexist; integrating heterogeneous data from different sources while maintaining logical and structural consistency; analysing dynamic phenomena in which the context is constantly changing, such as in distributed computer systems or neural networks; build conceptual interfaces between disciplines, facilitating communication between different scientific models.In everyday life, this results in a greater ability to understand and manage complexity. We live in a world where data is fragmented, systems are interconnected, and perspectives are multiplying. Topoi offer a way to bring order to this plurality, to construct conceptual maps that help us guide decisions, technologies, and policies. It is no coincidence that many emerging applications – from artificial intelligence to systems biology – are beginning to recognise the value of mathematical tools capable of unifying rather than separating.

Since March 2022, you have been president of the Grothendieck Institute, an interdisciplinary research centre for mathematical sciences. At the heart of the many projects is an idea that I would like you to clarify, even though you mentioned it in your last answer, namely that of building a bridge between the sciences.

The idea of a “bridge” between the sciences stems from the observation that many profound conceptual structures are shared by disciplines that, on the surface, seem distant. The theory of bridges arose precisely from this insight: I initially introduced it in a strictly mathematical context, to connect different theories and branches of the discipline through the theory of topoi. I then extended this framework to the sciences in general, showing how the same mechanisms of translation and comparison can relate models, phenomena and methods from very different fields.

At the Grothendieck Institute, we work precisely in this direction: identifying common conceptual architectures and using them to bring mathematics, physics, computer science, biology, cognitive science and even the humanities into dialogue with each other. A bridge is not an aesthetic metaphor: it is an epistemic device. It allows us to transfer ideas, translate problems and bring out structural analogies that would otherwise remain invisible. It is a way of expanding our ability to understand the world.

Speaking of dialogue between different fields of knowledge, how does the piano diploma you obtained in Cuneo fit into your story? How do music and numbers dialogue with each other?

Music was my first form of abstract thought. Studying piano as a child taught me discipline, sensitivity to structures and the ability to recognise complex patterns. After all, music is mathematics incarnate: it is rhythm, proportion, symmetry, variation. When I later devoted myself to mathematics, I recognised the same internal logic, the same tension between rigour and creativity. For me, music and mathematics are in constant dialogue: both require deep listening, a sense of form and an ability to imagine structures that are not immediately visible.

Art and mathematics are not distant worlds from the perspective of your research. Why is that?

Art and mathematics share a common core: they are both explorations of structures. Art does so through sensory forms, mathematics through conceptual forms. But the gesture is similar: it is about giving order, creating meaning, making something visible that was not visible before. In my research, this connection emerges naturally. Topos theory, for example, is a language that allows us to describe possible worlds, perspectives, points of view. It is an operation very close to that of art, which constructs new ways of perceiving reality. Art, like mathematics, is a laboratory of possibilities.

Philosophy and cognitive sciences are part of your curricular interests. In fact, it seems to me that the focus of your research is philosophical, both because of the systemic nature of Topos Theory and because of the search for the metaphysical foundations of mathematics...

Philosophy has always been present in my approach to mathematics. Topos theory is inherently systemic in nature: it does not merely solve local problems, but seeks the general structures that organise entire domains of knowledge. This type of research inevitably has a philosophical dimension, because it questions the foundations, the criteria of truth, and the forms of representation. Cognitive science, on the other hand, interests me because it studies the mechanisms through which we construct meaning. Understanding how the mind organises concepts, categories, and relationships is deeply connected to my work on unifying mathematical languages. In a sense, my research is philosophical not because it strays from mathematics, but because it explores its most general and profound dimension: that which concerns the very structure of knowledge.

I know that you are much loved by your students for your ability to listen and your skilful approach to motivation. But how do you get children interested in mathematics from an early age?

In my opinion, it is necessary to emphasise the playful and constructive dimension of mathematics right from the start: the fact that there are many different ways to solve a problem, and that everyone can make a personal contribution to this great collective adventure, regardless of age or role. Teachers should take the risk of presenting the subject in an open way, not rigidly factual as is unfortunately often the case, accepting the possibility of being “destabilised” by the brilliant solutions that students can come up with and that they themselves may not have imagined. Furthermore, playing logic or strategy games from an early age brings children closer to mathematics, if they can grasp something more general, universal and methodological from that experience. Mathematics can become a field of exploration and creativity, and when children perceive this freedom, interest arises spontaneously.

Concerning artificial intelligence, built on an increasingly sophisticated computational basis, what is your point of view: will the “agentic” or “cognitive” component become increasingly important? How do you use LLMs or chatbots in general?

To achieve true general artificial intelligence, new mathematical foundations are needed that are much richer and more structured than those on which current LLMs are based. These models, while extraordinarily powerful from a computational point of view, are not designed to emulate certain distinctive features of human intelligence: the ability to interpret the world in a qualitative rather than merely quantitative way, the identification of invariants, reasoning at different levels of abstraction, and the ability to combine different languages and points of view on the same topic. In this sense, I believe that the truly decisive component for the future of AI will be the cognitive one, rather than the merely “agentic” one. The ability to act autonomously is only valuable if it is supported by a deep conceptual structure, capable of constructing meaning and not just reacting to stimuli or data. Without this dimension, “agency” remains a sophisticated automatism, but one lacking in understanding. As I have illustrated in various seminars and courses, topos theory provides the appropriate conceptual tools to address these challenges: it allows contexts, points of view and cognitive structures to be modelled in a unified and flexible way. For this reason, I believe it will be fundamental in the development of forms of artificial intelligence that are closer to human cognitive processes. At the Centre for Topos Theory and its Applications at the Grothendiech Institute At the Centre for Topoi Theory and Applications at the Grothendieck Institute, we are working precisely in this direction. As for my personal use of LLMs or chatbots, I do not use them to do mathematical research in the strict sense: the nature of my work requires much deeper conceptual tools than current language models can offer. Instead, I use them for collateral activities related to my work, such as preliminary reference research, reviewing or editing texts, or speeding up certain practical operations. In this sense, they can be useful tools, provided that one is well aware of their limitations. (The Editor)